Question

已知点P是直角坐标平面内的动点，点P到直线x=-

p

2

-1（p是正常数）的距离为d₁，到点F(

p

2

，0)的距离为d₂，且d₁-d₂=1．（1）求动点P所在曲线C的方程；
（2）直线l 过点F且与曲线C交于不同两点A、B，分别过A、B点作直线l1：x=-

p

2

的垂线，对应的垂足分别为M、N，求证=

FM

•

FN

=0；
（3）记S₁=S_△FAM，S₂=S_△FMN，S₃=S_△FEN（A、B、M、N是（2）中的点），λ=

S 2 2

S1S3

，求λ 的值．

Answer 1

分析：（1）设动点为P（x，y），依据题意，有|x+

p

2

+1|-

(x- p 2 )2+y2

=1，化简得y²=2px，由此能求出动点P所在曲线C的方程．
（2）由题意可知，当过点F的直线l（3）的斜率为0时，不合题意，故设直线l：x=my-1，联立方程

y2=2px x=my+ p 2

，可化为y²-2mpy-p²=0，再由韦达定理进行求解．
（3）依据x₁+x₂=m（y₁+y₂）+p=2m²p+p，x1x2=

y 2 1

2p

•

y 2 2

2p

=

p2

4

，知S1S3=

1

2

(x1+

p

2

)|y1|•

1

2

(x2+

p

2

)|y2|=

p2

4

•[x1x2+

p

2

(x1+x2)+

p2

4

]=

1

4

p4(m2+1)，

S

2 2

=(

1

2

|y1-y2|•p)2=

p2

4

[(y1+y2)2-4y1y2]=p⁴（1+m²）．由此能得到λ 的值．

解答：解　（1）设动点为P（x，y），（1分）
依据题意，有|x+

p

2

+1|-

(x- p 2 )2+y2

=1，化简得y²=2px．（4分）
因此，动点P所在曲线C的方程是：y²=2px．（6分）
（2）由题意可知，当过点F的直线l（3）的斜率为0时，不合题意，
故可设直线l：x=my-1，如图所示．（8分）
联立方程组

y2=2px x=my+ p 2

，可化为y²-2mpy-p²=0，
则点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐标满足

y1+y2=2mp y1y2=-p2

．（10分）
又AM⊥l₁、BN⊥l₁，可得点M(-

p

2

，y1)、N(-

p

2

，y2)．
于是，

FM

=(-p，y1)，

FN

=(-p，y2)，
因此

FM

•

FN

=(-p，y1)•(-p，y2)=p2+y1y2=0．（12分）
（3）依据（2）可算出x₁+x₂=m（y₁+y₂）+p=2m²p+p，x1x2=

y 2 1

2p

•

y 2 2

2p

=

p2

4

，
则S1S3=

1

2

(x1+

p

2

)|y1|•

1

2

(x2+

p

2

)|y2|=

p2

4

•[x1x2+

p

2

(x1+x2)+

p2

4

]=

1

4

p4(m2+1)，

S

2 2

=(

1

2

|y1-y2|•p)2=

p2

4

[(y1+y2)2-4y1y2]=p⁴（1+m²）．（16分）
所以，λ=

S 2 2

S1S3

=4即为所求．（18分）

点评：本题考查直线 和圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．