Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是圆O：x²+y²=b²上的动点．若

PA

PF

是常数，则椭圆C的离心率是

5 -1

2

．

Answer 1

分析：设F（c，0），由c²=a²-b²可求c，P（x₁，y₁），要使得

PA

PF

是常数，则有（x₁+a）²+y₁²=λ[（x₁+c）²+y₁²]比较两边可得c，a的关系，结合椭圆的离心率的范围可求．

解答：解：设F（c，0），c²=a²-b²，A（-a，0），F（-c，0），P（x₁，y₁），使得

PA

PF

是常数，
设

PA

PF

=

λ

，则有（x₁+a）²+y₁²=λ[（c+x₁）²+y₁²]（x，λ是常数）
即b²+2ax₁+a²=λ（b²+2cx₁+c²），
比较两边，b²+a²=λ（b²+c²），a=λc，
故cb²+ca²=a（b²+c²），即ca²-c³+ca²=a³，
即e³-2e+1=0，
∴（e-1）（e²+e-1）=0，
∴e=1或e=

-1± 5

2

∵0＜e＜1，∴e=

5 -1

2

故答案为：

5 -1

2

．

点评：本题考查椭圆的简单性质，主要考查椭圆的离心率，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．