Question

(本题满分12分)

一个多面体的三视图及直观图如右图所示：

（Ⅰ）求异面直线AB₁与DD₁所成角的余弦值：

（Ⅱ）试在平面ADD₁A₁中确定一个点F，使得FB₁⊥平面BCC₁B₁；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F―CC₁―B的余弦值.

Answer 1

解；依题意知，该多面体为底面是正方形的四棱台，且D1D⊥底面ABCD。

AB=2A1B1=2DD1=2a……………2分以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线为X，Y，Z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），

A（2a，0，0），B1（a，a，a），D1（0，0，a），

B（2a，2a，0），C（0，2a，0），C1（0，a，a）…4分

（Ⅰ）

即直线AB₁与DD₁所成角的余弦值为………………………………………………6分

（II）设F（x，0，z），

     由FB₁平面BCC₁B₁得

即  得即F为DA的中点…………9分

（III）由（II）知FB₁为平面BCC₁B₁的法向量。

设为平面FCC₁的法向量。

由      即令y₁=1得x₁=2，z₁=1

即二面角F―CC₁―B的余弦值为…………………………………12分