Question

PM2.5是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米至75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标，北方城市环保局从该市市区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取20天的数据作为样本，发现空气质量为一级的有4天，为二级的有10天，超标的有6天．
（1）从这20天的日均PM2.5监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
（2）从这20天的数据中任取三天数据，求抽到PM2.5监测数据超标的天数不超过2天的概率；
（3）根据这20天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）从20天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，共有

C

3 20

种情况，恰有一天空气质量达到一级，共有

C

1 4

•

C

2 16

种情况，由此可求概率；
（Ⅱ）由于“从这20天的数据中任取三天数据，求抽到PM2.5监测数据超标的天数不超过2天”，与事件“从这20天的数据中任取三天数据，求抽到PM2.5监测数据均超标”对立，故P（B）=1-P（C）=1-

C 3 6

C 3 20

，由此可求概率；
（Ⅲ）一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为P=

14

20

=

7

10

，一年中空气质量达到一级或二级的天数η～B（365，

7

10

），求出期望，即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）从茎叶图可知，空气质量为一级的有4天，为二级的有10天，超标的有6天，
记“从20天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，
则P(A)=

C 1 4 • C 2 16

C 3 20

=

8

19

；
（Ⅱ）记“从20天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，抽到PM2.5监测数据超标的天数不超过2天”为事件B，
记“从20天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，抽到PM2.5监测数据均超标”为事件C，
则P（B）=1-P（C）=1-

C 3 6

C 3 20

=1-

1

57

=

56

57

；
（Ⅲ）20天的空气质量达到一级或二级的频率为

4+10

20

=

7

10

，
则一年中空气质量达到一级或二级的天数η～B（365，

7

10

），
则Eη=365×

7

10

=255.5，
所以估计一年中有255.5天的空气质量达到一级或二级．

点评：本题考查等可能事件概率的求法，考查离散型随机变量的分布列，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．