Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c给出下列结论：
①若A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；
②若

sinA

a

=

cosB

b

=

cosC

c

，则△ABC为等边三角形；
③若a=40，b=20，B=25°，则△ABC必有两解．
其中，结论正确的编号为

 

（写出所有正确结论的编号）

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：①分A为锐角和钝角两种情况讨论，利用正弦函数的单调性解决问题．
②把a=b=c，A=B=C=

π

3

进行验证即可．
③对A是锐角和钝角两种情况讨论．

解答： 解：①当A是锐角时，y=sinx在（0，

π

2

）上单调增，
∴若A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；
当A为钝角时，A=π-B-C，
∴sinA=sin（π-B-C）=sin（B+C），
∵

π

2

＞B+C＞B，
∴若A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；
综合可知①结论正确．
②若△ABC为等边三角形；则A=B=C=

π

3

，a=b=c，
则

sinA

a

=

3 2

a

=

3

2a

，

cosB

b

=

1 2

b

=

1

2b

，
显然

sinA

a

≠

cosB

b

，
②结论错误．
③

a

sinA

=

b

sinB

，
∴sinA=

asinB

b

=

40•sinB

20

=2sin25°，此时，A分为锐角和钝角两种解，
故③结论正确．
故答案为：①③

点评：本题主要考查了正弦定理的运用，解三角形问题，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．