Question

10．已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x方程x²-2ⁿx+b_n=0的两根，且a₁=1．
（1）求证：数列$\{{a_n}-\frac{1}{3}•{2^n}\}$是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）设函数f（n）=b_n-t•S_n（n∈N^*），若f（n）＞0对任意的n∈N^*都成立，求实数t的范围．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x方程x²-2ⁿx+b_n=0的两根，可得${a_n}+{a_{n+1}}={2^n}$，变形为${a_{n+1}}-\frac{1}{3}•{2^{n+1}}=-（{a_n}-\frac{1}{3}•{2^n}）$，即可证明；
（2）对n分类讨论，利用等比数列的前n项和公式即可得出；
（3）利用（1）的结论对n的奇偶情况分类讨论，利用数列的单调性即可得出．

解答 （1）证明：∵数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x方程x²-2ⁿx+b_n=0的两根，
∴${a_n}+{a_{n+1}}={2^n}$，
∴${a_{n+1}}-\frac{1}{3}•{2^{n+1}}=-（{a_n}-\frac{1}{3}•{2^n}）$，
∵${a_1}-\frac{1}{3}•2=\frac{1}{3}≠0$，
∴$\frac{{{a_{n+1}}-\frac{1}{3}•{2^{n+1}}}}{{{a_n}-\frac{1}{3}•{2^n}}}=-1$，
∴$\{{a_n}-\frac{1}{3}•{2^n}\}$是首项为$\frac{1}{3}$，公比为-1的等比数列．
∴${a_n}=\frac{1}{3}[{2^n}-{（-1）^n}]$．
（2）解：由（1）得${S_n}={a_1}+{a_2}+…+{a_n}=\frac{1}{3}（2+{2^2}+…+{2^n}）-\frac{1}{3}[（-1）+{（-1）^2}+…+{（-1）^n}]$
=$\frac{1}{3}[\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}+\frac{{1-{{（-1）}^n}}}{1+1}]=\frac{1}{3}[{2^{n+1}}-2-\frac{{-1+{{（-1）}^n}}}{2}]=\left\{\begin{array}{l}\frac{{{2^{n+1}}}}{3}-\frac{2}{3}，n为偶数\\ \frac{{{2^{n+1}}}}{3}-\frac{1}{3}，n为奇数\end{array}\right.$．
（3）解：∵b_n=a_n•a_n+1，
∴${b_n}=\frac{1}{9}[{2^n}-{（-1）^n}][{2^{n+1}}-{（-1）^{n-1}}]=\frac{1}{9}[{2^{2n+1}}-{（-2）^n}-1]$，
∵b_n-t•S_n＞0，
∴$\frac{1}{9}[{2^{2n+1}}-{（-2）^n}-1]-t•\frac{1}{3}[{2^{n+1}}-2-\frac{{{{（-1）}^n}-1}}{2}]＞0$．
∴当n为奇数时，$\frac{1}{9}（{2^{2n+1}}+{2^n}-1]-\frac{t}{3}（{2^{n+1}}-1）＞0$，
∴$t＜\frac{1}{3}（{2^n}+1）$对任意的n为奇数都成立，∴t＜1．
∴当n为偶数时，$\frac{1}{9}（{2^{2n+1}}+{2^n}-1]-\frac{t}{3}（{2^{n+1}}-2）＞0$，
∴$\frac{1}{9}（{2^{2n+1}}+{2^n}-1]-\frac{2t}{3}（{2^n}-1）＞0$，
∴$t＜\frac{1}{6}（{2^{n+1}}+1）$对任意的n为偶数都成立，
∴$t＜\frac{3}{2}$．
综上所述，实数t的取值范围为t＜1．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．