Question

16．已知数列{a_n}是公差为2的等差数列，数列{b_n满足b_n+1-b_n=a_n，且b₂=-18，b₃=-24．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求b_n取得最小值时n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知求得a₂，结合公差求得首项，则数列{a_n}的通项公式可求；
（Ⅱ）把数列{a_n}的通项公式代入b_n+1-b_n=a_n，利用累加法求得b_n，结合二次函数求得b_n取得最小值时n的值．

解答 解：（Ⅰ）由题意知d=2，
再由b_n+1-b_n=a_n，且b₂=-18，b₃=-24，得a₂=b₃-b₂=-6，
则a₁=a₂-d=-6-2=-8，
∴a_n=-8+2（n-1）=2n-10；
（Ⅱ）b_n+1-b_n=2n-10，
∴b₂-b₁=2×1-10，
b₃-b₂=2×2-10，
…
b_n-b_n-1=2（n-1）-10（n≥2），
累加得：b_n=b₁+2[1+2+…+（n-1）]-10（n-1）
=b₂-a₁+2[1+2+…+（n-1）]-10（n-1），
=-10+$2×\frac{n（n-1）}{2}-10（n-1）$=${n}^{2}-11n=（n-\frac{11}{2}）^{2}-\frac{121}{4}$．
∴当n=5或6时，b_n取得最小值为b₅=b₆=-30．

点评 本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．