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    精英家教网如图，椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的离心率为
    		3
    2
    ，x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长等于C1的长半轴长．
    （Ⅰ）求C1，C2的方程；
    （Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E．
    （i）证明：MD⊥ME；
    （ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得
    S1
    S2
    =
    17
    32
    ？请说明理由．
    分析：（Ⅰ）先利用离心率得到一个关于参数的方程，再利用x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长等于C1的长半轴长得另一个方程，两个方程联立即可求出参数进而求出C1，C2的方程；
    （Ⅱ）（i）把直线l的方程与抛物线方程联立可得关于点A、B坐标的等量关系，再代入求出kMA•kMB=-1，即可证明：MD⊥ME；
    （ii）先把直线MA的方程与抛物线方程联立可得点A的坐标，再利用弦长公式求出|MA|，同样的方法求出|MB|进而求出S1，同理可求S2．再代入已知就可知道是否存在直线l满足题中条件了．
    解答：解：（Ⅰ）由题得e=
    c
    a
    =
    		3
    2
    ，从而a=2b，又2
    		b
    =a，解得a=2，b=1，
    故C1，C2的方程分别为
    x2
    4
    +y2=1    ，y=x2-1．
    （Ⅱ）（i）由题得，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx，
    由
    y=kx
    y=x2-1
    得x2-kx-1=0．
    设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，
    于是x1+x2=k，x1x2=-1，又点M的坐标为（0，-1），
    所以kMA•kMB=
    y1+1
    x1
    •
    y2+1
    x2
    =
    (kx1+1)(kx2+1)
    x1x2
    =
    k2x1x2+k(x1+x2)+1
    x1x2
    =
    -k2+k2+1
    -1
    =-1．
    故MA⊥MB，即MD⊥ME．
    （ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为y=k1x-1．
    由
    y=k1x-1
    y=x2-1
    ，解得
    x=0
    y=-1
    或
    x=k1
    y=k12-1
    ．
    则点A的坐标为（k1，k12-1）．
    又直线MB的斜率为-
    1
    k1
    ，同理可得点B的坐标为（-
    1
    k1
    ，
    1
    k12
    -1）．
    于是s1=
    1
    2
    |MA|•|MB|=
    1
    2
    		1+k12
    •|k1|•
    		1+
    1
    k12
    •|-
    1
    k1
    |=
    1+k12
    2|k1|
    ．
    由
    y=k1x-1
    x2+4y2-4=0
    得（1+4k12）x2-8k1x=0．
    解得
    x=0
    y=-1
    或，
    x=
    8k1
    1+4k12
    y=
    4k12-1
    1+4k12
    ，则点D的坐标为（
    8k1
    1+4k12
    ，
    4k12-1
    1+4k12
    ）．
    又直线ME的斜率为-
    1
    k1
    ．同理可得点E的坐标为（
    -8k1
    4+k12
    ，
    4-k12
    4+k12
    ）．
    于是s2=
    1
    2
    |MD|•|ME|=
    32(1+k12)•|k1|
    (1+4k12)(k12+4)
    ．
    故
    s1
    s2
    =
    1
    64
    (4k12+
    4
    k12
    +17)    =
    17
    32
    ，解得k12=4或k12=
    1
    4
    ．
    又由点A，B的坐标得，k=
    k12-
    1
    k12
    k1+
    1
    k1
    =k1-
    1
    k1
    ．所以k=±
    3
    2
    ．
    故满足条件的直线存在，且有两条，其方程为y=
    3
    2
    x和y=-
    3
    2
    x．
    点评：本题是对椭圆与抛物线以及直线与抛物线和直线与椭圆的综合问题的考查．是一道整理过程很麻烦的题，需要要认真，细致的态度才能把题目作好．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，抛物线C1：x2=2py（p＞0）的焦点为F，椭圆C2：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的离心率e=
    		3
    2
    ，C1与C2在第一象限的交点为P（
    		3
    ，
    1
    2
    ）
    （1）求抛物线C1及椭圆C2的方程；
    （2）已知直线l：y=kx+t（k≠0，t＞0）与椭圆C2交于不同两点A、B，点M满足
    AM
    +
    BM
    =
    0
    ，直线FM的斜率为k1，试证明k•k1＞
    -1
    4
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•杨浦区二模）如图，椭圆C1：
    x2
    4
    +y2=1，x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长等于C1的长半轴长．
    （1）求实数b的值；
    （2）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA、MB分别与C1相交与D、E．
    ①证明：MD•ME=0；
    ②记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．若
    S1
    S2
    =λ，求λ的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图过抛物线C1：x2=4y的对称轴上一点P（0，m）（m＞0）作直线l与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，点Q是P关于原点的对称点，以P，Q为焦点的椭圆为C2．
    （1）求证：x1x2为定值；
    （2）若l的方程为x-2y+4=0，且C1，C2以及直线l有公共点，求C2的方程；
    （3）设
    AP
    =λ
    PB
    ，若
    QP
    ⊥(
    QA
    -μ
    QB
    )    ，求证：λ=μ

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）和圆C2：x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，椭圆C1右焦点到右准线的距离为
    		2
    4
    ，椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B．
    （1）求椭圆C1的方程；
    （2）若直线EA、EB分别与椭圆C1相交于另一个交点为点P、M．
    ①求证：直线MP经过一定点；
    ②试问：是否存在以（m，0）为圆心，
    3
    		2
    5
    为半径的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交？若存在，请求出所有m的值；若不存在，请说明理由．

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