Question

若函数的定义域为，且满足为 奇函数，为偶函数，则下列说法中一定正确的有        

（1）的图像关于直线对称

（2）的周期为 

（3）  

（4）在上只有一个零点

 

Answer 1

【答案】

【解析】

试题分析：因为，函数的定义域为，且满足为 奇函数，为偶函数，所以f(－x+1)=－f(x+1) .......(1)；f(x－1）=f(－x－1）.......(2)。

由(1) 得f(x+1)=－f(－x+1) ，故；

由(2) 得f(x－1）=f(－x－1），故的图像关于直线对称；（1）正确。由此可知，函数在要吗没零点，要吗不只一个零点；（4）不正确。

由①令－x+1=t得：f(t)=－f(2－t)…………③；②令－x－1=t得：f(t)= f(－2－t)………④；

由③、④得f(2－t)=－ f(－2－t）由此令－2－t=m得f(4+m) =－f(m)，

所以，f(8+m) =－f(m+4)= f(m)，函数f(x)的周期为8，（2）不正确。

所以，（3）正确。

综上知，答案为（1）（3）

考点：本题主要考查函数的奇偶性、周期性、对称性。

点评：中档题，本题比较典型，综合考查了函数的奇偶性、周期性、对称性，有一定难度，需要灵活运用“代换的方法”，寻求所需条件、结论。