(理科做)已知函数f(x)=x3+ax+b定义在区间[-1,1]上,且f(0)=f(1).又P(x1•y1)、Q(x2•y2)是其图象上任意两点(x1≠x2).
(1)求证:f(x)的图象关于点(0,b)成中心对称图形;
(2)设直线PQ的斜率为k,求证:|k|<2;
(3)若0≤x1<x2≤1,求证:|y1-y2|<1.
分析:(1)由于f(0)=f(1)得到b=1+a+b得a=-1,得出f(x)=x
3-x+b的图象可由y=x
3-x的图象向上(或下)平移b(或-b)个单位二得到. 又y=x
3-x是奇函数,其图象关于原点成中心对称图形,最后得出f(x)的图象关于点(0,b)成中心对称图形.
(2)先由点P(x
1,y
1)、Q(x
2,y
2)在f(x)=x
3-x+b的图象上.
k==x2 1-+x 1x 2-1. 又x
1、x
2∈[-1,1],利用不等式的性质即可证得|k|=|x
12+x
22+x
1x
2-1|<2
(3)根据0≤x
1<x
2≤1,且|y
1-y
2|<2|x
1-x
2|=-2(x
1-x
2),又|y
1-y
2|=|f(x
1)-f(x
2)|=|f(x
1)-f(0)+f(1)-f(x
2)|利用绝对值不等式的性质即可证得|y
1-y
2|<1.
解答:解:(1)f(0)=f(1),∴b=1+a+b得a=-1.(1分)
f(x)=x
3-x+b的图象可由y=x
3-x的图象向上(或下)平移b(或-b)个单位二得到. (3分)
又y=x
3-x是奇函数,其图象关于原点成中心对称图形,f(x)的图象关于点(0,b)成中心对称图形. (5分)
(2)∵点P(x
1,y
1)、Q(x
2,y
2)在f(x)=x
3-x+b的图象上,
则k=
=x
12+x
22+x
1x
2-1,(7分)
又x
1、x
2∈[-1,1],x
1≠x
2∵0<x
12+x
22+x
1x
2<3,从而-1<x
12+x
22+x
1x
2-1<2
∴|k|=|x
12+x
22+x
1x
2-1|<2 (11分)
(3)∵0≤x
1<x
2≤1,且|y
1-y
2|<2|x
1-x
2|=-2(x
1-x
2),①
又|y
1-y
2|=|f(x
1)-f(x
2)|=|f(x
1)-f(0)+f(1)-f(x
2)|≤|f(x
1)-f(0)|+|f(1)-f(x
2)|≤2|x
1-0|+2|x
2-1|=2(x
1-0)+2(1-x
2)=2(x
1-x
2)+2②
①+②得2|y
1-y
2|<2,故|y
1-y
2|<1(14分)
点评:本题考查了函数图象中心对称的性质的应用,即函数的对称中心的坐标是(a,b),则有2b=f(a+x)+f(a-x)对任意x均成立,由此恒等式进行求值.