Question

（理科做）已知函数f（x）=x³+ax+b定义在区间[-1，1]上，且f（0）=f（1）．又P（x₁•y₁）、Q（x₂•y₂）是其图象上任意两点（x₁≠x₂）．
（1）求证：f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称图形；
（2）设直线PQ的斜率为k，求证：|k|＜2；
（3）若0≤x₁＜x₂≤1，求证：|y₁-y₂|＜1．

Answer 1

解：（1）f（0）=f（1），∴b=1+a+b得a=-1．（1分）
f（x）=x³-x+b的图象可由y=x³-x的图象向上（或下）平移b（或-b）个单位二得到． （3分）
又y=x³-x是奇函数，其图象关于原点成中心对称图形，f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称图形． （5分）
（2）∵点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）在f（x）=x³-x+b的图象上，． （7分）
又x₁、x₂∈[-1，1]，x₁≠x₂∵0＜x₁²+x₂²+x₁x₂＜3，从而-1＜x₁²+x₂²+x₁x₂-1＜2
∴|k|=|x₁²+x₂²+x₁x₂-1|＜2 （11分）
（3）∵0≤x₁＜x₂≤1，且|y₁-y₂|＜2|x₁-x₂|=-2（x₁-x₂），①
又|y₁-y₂|=|f（x₁）-f（x₂）|=|f（x₁）-f（0）+f（1）-f（x₂）|≤|f（x₁）-f（0）|+|f（1）-f（x₂）|≤2|x₁-0|+2|x₂-1|=2（x₁-0）+2（1-x₂）=2（x₁-x₂）+2②
①+②得2|y₁-y₂|＜2，故|y₁-y₂|＜1（14分）
分析：（1）由于f（0）=f（1）得到b=1+a+b得a=-1，得出f（x）=x³-x+b的图象可由y=x³-x的图象向上（或下）平移b（或-b）个单位二得到． 又y=x³-x是奇函数，其图象关于原点成中心对称图形，最后得出f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称图形．
（2）先由点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）在f（x）=x³-x+b的图象上．． 又x₁、x₂∈[-1，1]，利用不等式的性质即可证得|k|=|x₁²+x₂²+x₁x₂-1|＜2
（3）根据0≤x₁＜x₂≤1，且|y₁-y₂|＜2|x₁-x₂|=-2（x₁-x₂），又|y₁-y₂|=|f（x₁）-f（x₂）|=|f（x₁）-f（0）+f（1）-f（x₂）|利用绝对值不等式的性质即可证得|y₁-y₂|＜1．
点评：本题考查了函数图象中心对称的性质的应用，即函数的对称中心的坐标是（a，b），则有2b=f（a+x）+f（a-x）对任意x均成立，由此恒等式进行求值．