Question

3．下列函数中，最小值为4的是（　　）

• A． y=x+$\frac{4}{x}$
• B． y=sinx+$\frac{4}{sinx}$（0＜x＜π）
• C． y=e^x+4e^-x
• D． y=log₃x+4log_x3

Answer 1

分析 运用基本不等式求最值，注意满足的条件：一正二定三等，即可判断A，B，D错误，C正确．

解答 解：A，y=x+$\frac{4}{x}$，当x＞0时，y=x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，取得最小值4；当x＜0时，y=x+$\frac{4}{x}$≤-2$\sqrt{4}$=-4，故A错；
B，y=sinx+$\frac{4}{sinx}$（0＜x＜π），令t=sinx（0＜t≤1），则y=t+$\frac{4}{t}$在（0，1]递减，可得y的最小值为5，故B错；
C，y=e^x+4e^-x≥2$\sqrt{{e}^{x}•4{e}^{-x}}$=4，当且仅当x=0时，取得最小值4，故C正确；
D，y=log₃x+4log_x3，当x＞1时，log₃x＞0，可得log₃x+4log_x3≥2$\sqrt{lo{g}_{3}x•4lo{g}_{x}3}$=4；当0＜x＜1时，log₃x＜0，可得log₃x+4log_x3≤-2$\sqrt{lo{g}_{3}x•4lo{g}_{x}3}$=-4，故D错．
故选：C．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，同时考查正弦函数和指数函数、对数函数的性质，考查运算能力，属于基础题．