Question

18．函数$f（x）=\sqrt{-{x^2}+（a+2）x-a-1}（a＞0）$的定义域为集合A，函数g（x）=2^x-1（x≤2）的值域为集合B．
（1）当a=1时，求集合A，B；
（2）若集合A，B满足A∪B=B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据a=1，可得-x²+3x-2≥0，即x²-3x+2≤0，可求x的范围，得到集合A，根据指数的性质，可得值域，得到集合B．
（2）根据A∪B=B，即A⊆B，建立条件关系即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，由题意得-x²+3x-2≥0，即x²-3x+2≤0，
解得：1≤x≤2，
∴集合A=[1，2]，
由函数g（x）=2^x-1（x≤2），可知函数g（x）在（-∞，2]上单调递增，
∴-1≤2^x-1≤3，
∴集合B=（-1，3]．
（2）∵A∪B=B，
∴A⊆B，
由题意得-x²+（a+2）x-a-1≥0
得x²-（a+2）x+a+1≤0，即（x-1）[x-（a+1）]≤0，
由方程（x-1）[x-（a+1）]=0，
可得：x₁=1，x₂=a+1
∵a＞0，
∴不等式的解集为[1，a+1]，即集合A=[1，a+1]，
由A⊆B，
∴a+1≤3，
∴a≤2，
故得实数a的取值范围是{a|0＜a≤2}．

点评 本题主要考查不等式的计算以及集合的基本运算，属于基础题．