Question

8．已知椭圆F：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$．其右焦点为F（c，0），第一象限的点A在椭圆T上，且AF⊥x轴．（I）若椭圆F过点（1，$-\frac{3}{2}$），求椭圆T的标准方程
（Ⅱ）已知直线l：y=x-c与椭圆T交于M、N两点，且B（4c，y_B）为直线l上的点．证明：直线AM，AB、AN的斜率满足k_AB一k_AM=k_AN-k_AB．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）F（1，0），由于AF⊥x轴，第一象限的点A在椭圆T上，可得A$（1，\frac{3}{2}）$．B（4，3），可得k_AB=$\frac{1}{2}$．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．直线方程与椭圆方程联立可得7x²-8x-8=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得：k_AM+k_AN=$\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-\frac{7}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+5}{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$，代入化简即可证明．

解答 （1）解：由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得c=1，b=$\sqrt{3}$，a=2．
∴椭圆T的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）证明：F（1，0），∵AF⊥x轴，第一象限的点A在椭圆T上，∴A$（1，\frac{3}{2}）$．
B（4，3），∴k_AB=$\frac{3-\frac{3}{2}}{4-1}$=$\frac{1}{2}$．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为7x²-8x-8=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8}{7}$，x₁x₂=-$\frac{8}{7}$．
k_AM+k_AN=$\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{（{x}_{1}-\frac{5}{2}）（{x}_{2}-1）+（{x}_{2}-\frac{5}{2}）（{x}_{1}-1）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-\frac{7}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+5}{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$=$\frac{2×（-\frac{8}{7}）-\frac{7}{2}×\frac{8}{7}+5}{-\frac{8}{7}-\frac{8}{7}+1}$=1．
∴斜率满足2k_AB=k_AM+k_AN，即k_AB一k_AM=k_AN-k_AB．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．