Question

18．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右顶点分别为A，B，右焦点为F，离心率$e=\frac{1}{2}$，点P是椭圆C上异于A，B两点的动点，△APB的面积最大值为$2\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线AP与直线x=2交于点D，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并作出证明．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，以及椭圆上点到x轴距离的最大值，计算即可得到a，b的值，进而得到椭圆方程；
（2）以BD为直径的圆与直线PF相切．设直线AP：y=k（x+2）（k≠0），代入椭圆方程，运用韦达定理，可得P的坐标，再由点到直线的距离公式和直线与圆相切的条件：d=r，即可得到结论．

解答 解：（1）由题意得，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²-b²=c²，
当P为椭圆的上顶点时，△APB的面积取得最大值
且为$\frac{1}{2}$•b•2a=$2\sqrt{3}$，
解得，a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
所以椭圆方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）以BD为直径的圆与直线PF相切．
证明：设直线AP：y=k（x+2）（k≠0），
可得D（2，4k），BD的中点为M为（2，2k）
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，消去y整理得，
（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
设P（x₀，y₀），由韦达定理得，$-2{x_0}=\frac{{16{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，
解得，${x_0}=\frac{{6-8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，
故有，${y_0}=k（{{x_0}+2}）=\frac{12k}{{3+4{k^2}}}$，
又F（1，0），所以当$k=±\frac{1}{2}$时，$P（{1，±\frac{3}{2}}）$，D（2，±2），此时PF⊥x轴，
以BD为直径的圆（x-2）²+（y±1）²=1与直线PF相切；
当$k≠±\frac{1}{2}$时，${k_{PF}}=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}=\frac{4k}{{1-4{k^2}}}$，
所以直线PF：$y=\frac{4k}{{1-4{k^2}}}（{x-1}）$，即$\frac{4k}{{1-4{k^2}}}x-y-\frac{4k}{{1-4{k^2}}}=0$，
所以点E到直线PF的距离d=$\frac{|\frac{8k}{1-{k}^{2}}-2k-\frac{4k}{1-{4k}^{2}}|}{\sqrt{（\frac{4k}{1-4{k}^{2}}）^{2}+1}}$=2|k|，
而BD=4k，即知d=$\frac{1}{2}$|BD|，所以以BD为直径的圆与直线PF相切．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和椭圆的性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，同时考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式和相切的条件，属于中档题．