Question

已知关于x的方程x²+2ax+b=0，其中，，b∈[0，2]．

（1）求方程有实根的概率；

（2）若a∈Z，b∈Z，求方程有实根的概率．

Answer 1

考点：

几何概型；古典概型及其概率计算公式．

专题：

概率与统计．

分析：

根据题意，由一元二次方程的性质，可得x²+2ax+b=0有实根的充要条件为b≤a²，

（1）由题意分析可得，这是几何概型，将表示为平面区域，进而可得其中满足b≤a²的区域的面积，由几何概型公式，计算可得答案．

（2）由题意分析可得，这是古典概型，由a、b分别从{﹣1，0，1}，{0，1，2}中任取的数字，易得一共可以得到9个不同方程；可得满足b≤a²的全部情况数目，结合古典概型公式，计算可得答案．

解答：

解：方程x²+2ax+b=0有实根⇔△≥0⇔4a²﹣4b≥0⇔b≤a²，

（1）点（a，b）所构成的区域为，

面积S_Ω=；

设“方程有实根”为事件A，所对应的区域为，

其面积，

这是一个几何概型，所以

（2）因为a∈Z，b∈Z，所以（a，b）的所有可能取值有9个，分别是：（﹣1，0），（0，0），（1，0），（﹣1，1），（0，1），（1，1），（﹣1，2），（0，2），（1，2），

其中，满足△≥0即b≤a²的有5个：（﹣1，0），（0，0），（1，0），（﹣1，1），（1，1）．

设“方程有实根”为事件B，这是一个古典概型，所以

答：（1）所求概率为；（2）所求概率为．

点评：

本题考查几何概型和古典概型，放在一起的目的是把两种概型加以比较，注意两者的不同．