【题目】(本小题满分12分)
已知数列的前项和,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)令,是否存在,使得、、成等比数列.若存在,求出所有符合条件的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)不存在.
【解析】
试题分析:(1)给出与的关系,求,常用思路:一是利用转化为的递推关系,再求其通项公式;二是转化为的递推关系,先求出与的关系,再求;由推时,别漏掉这种情况,大部分学生好遗忘;(2)与数列有关的探索问题:第一步:假设符合条件的结论存在;第二步:从假设出发,利用题中关系求解;第三步,确定符合要求的结论存在或不存在;第四步:给出明确结果;第五步:反思回顾,查看关键点.
试题解析:解法1:当时,, 1分
即. 3分
所以数列是首项为的常数列. 4分
所以.
所以数列的通项公式为. 6分
解法2:当时,, 1分
即. 3分
. 4分
因为,符合的表达式. 5分
所以数列的通项公式为. 6分
(Ⅱ)假设存在,使得,,,成等比数列,
即. 7分
因为,
所以 10分
. 11分
这与矛盾.
故不存在,使得成等比数列. 12分
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【题目】某汽配厂生产某种零件,每个零件的出厂单价为60元,为了鼓励更多销售商订购,该厂决定当一次订购超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低元,但实际出厂单价不低于51元.
当一次订购量最少为多少时,零件的实际出厂单价恰好为51元?
设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为p元,写出函数的表达式.
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【题目】对于函数,若存在区间,使得,则称函数为“可等域函数”.区间为函数的一个“可等域区间”.给出下列三个函数:
①;②;③;
则其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
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【题目】设圆的圆心为A,直线过点B(1,0)且与x轴不重合,设P为圆A上一点,线段PB的垂直平分线交直线PA于E
(1)证明为定值,并写出E的轨迹方程;
(2)设点M的轨迹为曲线C1,直线交C1于M,N两点,问:在轴上是否存在定点D使直线DM与DN的倾斜角互补,若存在求出D点的坐标,否则说明理由。
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【题目】某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图.
(1)求图中的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分;
(3)现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生,将该样本看成一个总体,从中随机抽取2名,求其中恰有1人的分数不低于90分的概率.
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【题目】已知为等差数列,且,其前8项和为52, 是各项均为正数的等比数列,且满足, .
(1)求数列和的通项公式;
(2)令,数列的前项和为,若对任意正整数,都有成立,求实数的取值范围.
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