Question

已知p（p≥2）是给定的某个正整数，数列{a_n}满足：a₁=1，（k+1）a_k+1=p（k-p）a_k，其中k=1，2，3，…，p-1．
（I）设p=4，求a₂，a₃，a₄；
（II）求a₁+a₂+a₃+…+a_p．

Answer 1

解：（Ⅰ）由（k+1）a_k+1=p（k-p）a_k得，k=1，2，3，…，p-1
即，a₂=-6a₁=-6；
，a₃=16，
，a₄=-16； （3分）
（Ⅱ）由（k+1）a_k+1=p（k-p）a_k
得：，k=1，2，3，…，p-1
即，，…，，
以上各式相乘得 （5分）
∴
=
=，k=1，2，3，…，p （7分）
∴a₁+a₂+a₃+…+a_p== （10分）
分析：（I）设p=4，利用（k+1）a_k+1=p（k-p）a_k，求出，通过k=1，2，3求a₂，a₃，a₄；
（II）利用列出的表达式通过连乘求出a_k，然后通过二项式定理求解求a₁+a₂+a₃+…+a_p．
点评：本题考查数列的应用，数列的项的求法，通项公式的求法，二项式定理的应用，考查转化思想计算能力．