Question

令f_n（x）=-xⁿ-2x+1（n≥2，n∈N），x∈（

1

3

，1）则下列命题正确的有

 

．
①f_n（

1

3

）＜0；
②f_n（x）在区间（

1

3

，1）一定存在唯一零点；
③若x_n是f_n（x）在（

1

3

，1）上的零点，则数列{x_n}（n≥2，n∈N）单调递减；
④若x_n是f_n（x）在（

1

3

，1）上的零点，则数列{x_n}（n≥2，n∈N）单调递增；
⑤以上③④两种情况都有可能．

Answer 1

分析：①根据函数的解析式求得f_n（

1

3

）=

1

3

-(

1

3

)n＞0，可得①不正确．
②确定函数的单调性，利用零点存在定理，进行验证，可得②正确．
由f_n（x_n）=0，可得 xnn+2x_n-1=0，同取导数可得 xnn-1=

-2

n

，故有 xnn-1 是增函数，可得③不正确且④正确，从而得出结论．

解答：解：由f_n（x）=-xⁿ-2x+1（n≥2，n∈N），x∈（

1

3

，1），可得f_n（

1

3

）=-(

1

3

)n-

2

3

+1=

1

3

-(

1

3

)n＞0，故①不正确．
根据f_n（

1

3

）=-(

1

3

)n-

2

3

+1≥-

1

9

-

2

3

+1＞0，f_n（1）=-1-2+1=-2＜0，可得f_n（

1

3

）f_n（1）＜0，
故f_n（x）在区间（

1

3

，1）一定存在唯一零点，故②正确．
③若x_n是f_n（x）在（

1

3

，1）上的零点，则f_n（x_n）=0，即-xnn-2x_n+1=0，即 xnn+2x_n-1=0，
同取导数可得 nxnn-1+2=0，即 xnn-1=

-2

n

，∴xnn-1 是增函数，故③不正确且④正确，
故答案为：②④．

点评：本题考查的知识点是零点存在定理，导数法判断函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．