Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面为直角梯形，∠BAD=90°，BC∥AD，且PA=AB=BC=1，AD=2．
（1）设M为PD的中点，求证：CM∥平面PAB；
（2）求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值．

Answer 1

（1）证明：取PA的中点N，连接BN、NM，
在△PAD中，MN∥AD，且；
又BC∥AD，且，
所以MNBC，即四边形BCMN为平行四边形，CM∥BN．
又CM平面PAB，BN平面PAB，
故CM∥平面PAB．
（2）在平面ABCD中，AB与CD不平行，延长AB、CD交于一点，设为E，连接PE，则
PE为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的棱，
又由题设可知DA⊥侧面PAB，于是过A作AF⊥PE于F，连接DF，
由三垂线定理可知，∠AFD为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角．
在△EAD中，由BC∥AD，，知B为AE为中点，
∴AE=2，
在Rt△PAE中，PA=1，AE=2，
∴，．
故，
即所求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值为．