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已知圆C:(x-4)2+y2=4,圆D的圆心D在y轴上,且与圆C外切,圆D交y轴于A、B两点(A在B的上方),点P为(-3,0).

(1)若D(0,3),求∠APB的正切值;

(2)若D在y轴上运动,当D在何位置时,tan∠APB最大?并求出最大值;

(3)在x轴上是否存在点Q,使当D在y轴上运动时,∠AQB为定值?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.

答案:
解析:

  解:(1)由圆C:,知C(4,0),圆C的半径为2  1分

  又圆C与圆D外切,D(0,3),

  ∴,圆D的半径R=5-2=3  3分

  而圆D截轴于(0,6)、(0,0)两点,不妨设A(0,6),B(0,0)

  ∴∠APB=  4分

  (2)当D在轴上运动时,令D(0,),

  圆D的半径R=-2,A(0,+R),B(0,-R)  5分

  ∠APB=∠APC-∠BPC,

  ∴∠APB=  7分

  =  8分

  ≤  9分

  当D为(0,0)时,∠APB最大,最大值为  10分

  (3)设Q(,0),同(2)中求∠APB的方法一样可得

  ∠AQB=为常数

    11分

  即  12分

  但当时,若A、B分别在轴两旁时,∠AQB=1800

  若A、B都在轴同旁时,∠AQB=00,故不合题意,舍去.

  所以,存在满足题意的点Q,为(,0)或(-,0)  14分


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