Question

4．在棱长为1正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F，G分别为DD₁，BD，BB₁的中点，则EF，CG所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{15}$
• C． $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{15}}}{15}$

Answer 1

分析 取B₁D₁的中点M，连接GM，CM，B₁D．在平面BB₁DD₁上，FE∥B₁D，GM∥B₁D，所以∠CGM（或其补角）为EF与CG所成角，故可求；

解答 解：取B₁D₁的中点M，连接GM，CM，B₁D
在平面BB₁DD₁上，FE∥B₁D，GM∥B₁D，所以∠CGM（或其补角）为EF与CG所成角．
在△CMG中，MG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CG=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，CM=$\sqrt{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴cos∠CGM=$\frac{\frac{3}{4}+\frac{5}{4}-\frac{6}{4}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$，
∴EF与CG所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{15}$；
故选：D．

点评 本题重点考查线面垂直的判定与性质，考查线线角，熟练掌握线面垂直的判定与性质是关键．