Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的任意一点到它两个焦点（-c，0），（c，0）的距离之和为2

2

，且它的焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线x-y+m=0与椭圆C交于不同两点A，B，且线段AB的中点M不在圆x2+y2=

5

9

内，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆上的任意一点到它两个焦点（-c，0），（c，0）的距离之和为2

2

，且它的焦距为2，建立方程，可求几何量，从而可得椭圆的方程；
（Ⅱ）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理确定线段AB的中点M的坐标，利用线段AB的中点M不在圆x2+y2=

5

9

内，及判别式，即可确定实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，

2c=2 2a=2 2

，∴

c=1 a= 2

而a²=b²+c²，∴b²=1
故椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）直线x-y+m=0与椭圆方程联立，可得3x²+4mx+2m²-2=0
由△=16m²-12（2m²-2）=8（-m²+3）＞0，可得-

3

＜m＜

3

设A（x₁，y₁），B（x₁，y₁），则x₁+x₂=-

4m

3

，y₁+y₂=x₁+x₂+2m=

2m

3

∴AB中点M（-

2m

3

，

m

3

）
∵线段AB的中点M不在圆x2+y2=

5

9

内，
∴

4m2

9

+

m2

9

≥

5

9

∴m≤-1或m≥1
∵-

3

＜m＜

3

∴-

3

＜m≤-1或1≤m＜

3

．

点评：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，联立方程，正确运用韦达定理是关键．