Question

函数f(x)=

x-4

+

15-3x

的值域是（　　）

• A．[1，2]
• B．[0，2]
• C．(0，

  3

  ]
• D．[1，

  3

  ]

Answer 1

分析：首先求出函数的定义域为{x|4≤x≤5}，想求函数的值域，可想着去掉根式，因此借助于三角函数，令x=4+sin²θ 
（0≤θ≤

π

2

），把x代入函数解析式即可转化为关于角θ的三角函数，把三角函数化积后可求值域，从而求出原函数的值域．

解答：解：由

x-4≥0 15-3x≥0

得：4≤x≤5，
所以，函数的定义域为{x|4≤x≤5}．
设x=4+sin²θ （0≤θ≤

π

2

），
则原函数化为y=

4+sin2θ-4

+

15-3(4+sin2θ)

=|sinθ|+

3

|cosθ|
∵0≤θ≤

π

2

，
∴y=sinθ+

3

cosθ=2(

1

2

sinθ+

3

2

cosθ)=2sin(θ+

π

3

)．
∵0≤θ≤

π

2

，∴

π

3

≤θ+

π

3

≤

5

6

π，∴1≤2sin(θ+

π

3

)≤2．
所以，y=2sin(θ+

π

3

)的值域是[1，2]．
则函数f(x)=

x-4

+

15-3x

的值域是[1，2]．
故选A．

点评：本题考查了函数的值域及其求法，训练了利用换元法求解函数的值域，考查了数学转化思想，解答此题的关键借助于三角代换化无理函数为有理函数，此题是中档题．