Question

已知函数．

（1）当时，求在区间上的最大值和最小值；

（2）如果函数，，，在公共定义域D上，满足，那么就称为为的“活动函数”．已知函数，．若在区间上，函数是，的“活动函数”，求的取值范围。

Answer 1

解：（1）当时，，；            

对于[1, e]，有，∴在区间[1, e]上为增函数

∴，．………………………………………… 3 分

（2）在区间（1，+∞）上，函数是的“活动函数”，则

令，对恒成立，

且 =对恒成立，………………  5分

∵ （*）

1）  若，令，得极值点，，

当，即时，在（，+∞）上有，此时在区间（，+∞）上是增函数，并且在该区间上有∈（，+∞），不合题意；

当，即时，同理可知，在区间（1，+∞）上，有∈（，+∞），也不

合题意；  。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 7分

2） 若，则有，此时在区间（1，+∞）上恒有，从而在区间（1，+∞）

上是减函数；要使在此区间上恒成立，只须满足，

所以a．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 9分

又因为h^/（x）= –x+2a–= <0, h（x）在（1, +∞）上为减函数，

h（x）<h（1）= +2a0，  所以a综合可知的范围是[,]．  12分

另解：（接在（*）号后）先考虑h（x）,    h`（x） = – x + 2a =,

h（x）在（1,+¥）递减，只要h（1） £ 0, 得，解得． 。。。。。。。。。。。8分

而p`（x）=对xÎ（1,+¥） 且有p`（x） <0．

只要p（1） £ 0, ，解得,所以．  。。。。。。。。。。。。12分