Question

11．对数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶等分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．对自然数k，规定{△^ka_n}为数列{a_n}的k阶等分数列，其中△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n=△（△^k-1a_n）．
（1）已知数列{a_n}的通项公式a_n=n²+n（n∈N^*），试判断{△a_n}，{△²a_n}是否为等差或等比数列，为什么？
（2）若数列{a_n}首项a₁=1，且满足△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据数列{a_n}的通项公式、结合新定义可判定{△a_n}是首项为4、公差为2的等差数列，不是等比数列，{△²a_n}是首项为2、公差为0的等差数列，也是首项为2、公比为1的等比数列；
（2）先猜想${a_n}=n•{2^{n-1}}$，再用数学归纳法进行证明通项公式，证题时要利用到归纳假设，利用错位相减法计算可知前n项和S_n．

解答 解：（Ⅰ）△a_n=a_n+1-an=（n+1）²+（n+1）-（n²+n）=2n+2，
∵△a_n+1-△a_n=2，且△a₁=4，
∴{△a_n}是首项为4、公差为2的等差数列，不是等比数列；
∵△²a_n=2（n+1）+2-（2n+2）=2，
∴由定义知，数列{△²a_n}是首项为2、公差为0的等差数列；也是首项为2、公比为1的等比数列；
（Ⅱ）∵△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，即△a_n+1-△a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，即△a_n-a_n=2ⁿ，
又∵△a_n=a_n+1-a_n，
∴a_n+1=2a_n+2ⁿ，
∵a₁=1，
∴a₂=4=2×2¹，a₃=12=3×2²，a₄=32=4×2³，…
猜想${a_n}=n•{2^{n-1}}$．
下面用数学归纳法来证明：
ⅰ）当n=1时，a₁=1=1×2⁰；
ⅱ）假设n=k时，有a_k=k•2^k-1，
当n=k+1时，a_k+1=2a_k+2^k=k•2^k+2^k=（k+1）2^（k+1）-1，
即当n=k+1时结论也成立；
∴由ⅰ）、ⅱ）可知，${a_n}=n•{2^{n-1}}$．
∴S_n=1•2⁰+2•2¹+…+n•2^n-1，
2S_n=1•2¹+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
两式错位相减得：-T_n=2⁰+2¹+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ
=-1+（1-n）•2ⁿ，
∴${S_n}=（n-1）•{2^n}+1$．

点评 本题主要考查对新定义的理解，考查等差数列与等比数列的判定，考查数列的通项，先猜后证是关键，注意解题方法的积累，属于中档题．