Question

1．设$\overrightarrow{a}$=（-1，1），$\overrightarrow{b}$=（4，3），$\overrightarrow{c}$=（5，-2）
（1）若$（\overrightarrow a+t\overrightarrow b）⊥\overrightarrow c$，求实数t的值；
（2）试用$\overrightarrow a，\overrightarrow b$表示$\overrightarrow c$；
（3）若$\overrightarrow a=\overrightarrow{OA}，\overrightarrow b=\overrightarrow{OB}$，求△OAB的面积．

Answer 1

分析 （1）由$（\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}）⊥\overrightarrow{c}$便可得到$（\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{c}=0$，进行数量积的坐标运算即可求出t；
（2）可设$\overrightarrow{c}=λ\overrightarrow{a}+μ\overrightarrow{b}$，可带入坐标，从而由在x轴上的坐标和y轴上的坐标对应相等即可建立关于λ，μ的二元一次方程组，解方程组即可得出λ，μ，从而表示出$\overrightarrow{c}$；
（3）根据向量夹角的余弦公式求出cos∠BOA，从而得到sin∠BOA，从而根据三角形的面积公式即可得出△OAB的面积．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}=（-1+4t，1+3t）$；
∵$（\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}）⊥\overrightarrow{c}$；
∴$（\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{c}=-5+20t-2-6t=0$；
∴$t=\frac{1}{2}$；
（2）设$\overrightarrow{c}=λ\overrightarrow{a}+μ\overrightarrow{b}$，则：（5，-2）=（-λ，λ）+（4μ，3μ）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{5=-λ+4μ}\\{-2=λ+3μ}\end{array}\right.$；
解得$λ=-\frac{23}{7}，μ=\frac{3}{7}$；
∴$\overrightarrow c=-\frac{23}{7}\overrightarrow a+\frac{3}{7}\overrightarrow b$；
（3）cos∠BOA=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{-1}{\sqrt{2}•5}=-\frac{\sqrt{2}}{10}$；
∴$sin∠BOA=\sqrt{1-\frac{1}{50}}=\frac{7}{5\sqrt{2}}$；
∴${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin∠BOA$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×5×\frac{7}{5\sqrt{2}}=\frac{7}{2}$．

点评 考查向量数乘、加法及数量积的坐标运算，向量坐标相等便是在x轴，y轴上的坐标对应相等，向量夹角的余弦的坐标公式，根据向量坐标求向量长度，以及三角形的面积公式：S=$\frac{1}{2}absinC$．