Question

13．等差数列{a_n}中，a₂=6，3a₃=a₁+a₄+12．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=3^n-1，求a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，
∵a₂=6，3a₃=a₁+a₄+12．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=6}\\{3（{a}_{1}+2d）=2{a}_{1}+3d+12}\end{array}\right.$，
解得d=3，a₁=3．   
故a_n=3+3（n-1）=3n．
（Ⅱ）a_nb_n=3n×3^n-1=n•3ⁿ
设T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，即${T_n}=3+2•{3^2}+3•{3^3}+…+n•{3^n}$，
$3{T_n}={3^2}+2•{3^3}+3•{3^4}+…+n•{3^{n+1}}$，
相减得-2T_n=3+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{1-2n}{2}•{3}^{n+1}$-$\frac{3}{2}$．
∴T_n=$\frac{2n-1}{4}×{3}^{n+1}$+$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．