Question

3．不等式$\frac{{3{x^2}+2x+2}}{{{x^2}+x+1}}≥k$，对任意实数x都成立，满足条件自然数k最大值为a，若已知mn＞0，m≠n，试比较log${\;}_{\frac{1}{a}}$（3m²+4mn+n²）与log${\;}_{\frac{1}{a}}$（2m²+6mn）的大小．

Answer 1

分析 不等式$\frac{{3{x^2}+2x+2}}{{{x^2}+x+1}}≥k$，对任意实数x都成立，等价于（k-3）x²+（k-2）x+k-2≤0对于任意的实数x均成立，分类讨论，利用根的判别式即可求得k的取值范围，继而求出a的值，在作差比较真数的大小，根据对数函数的单调性质即可比较．

解答 解：不等式$\frac{3{x}^{2}+2x+2}{{x}^{2}+x+1}$≥k对于任意的实数x均成立，等价于（k-3）x²+（k-2）x+k-2≤0对于任意的实数x均成立．
当k=3时，x+1≤0，∴x≤-1，不满足题意；
当k≠3时，$\left\{\begin{array}{l}{k-3＜0}\\{（m-2）^{2}-4（k-3）（k-2）＜0}\end{array}\right.$，
解得k＜3，
∵满足条件自然数k最大值为a，
∴a=3，
∵mn＞0，m≠n
∴3m²+4mn+n²-2m²-6mn=m²-2mn+n²=（m-n）²＞0，
∴3m²+4mn+n²＞2m²+6mn，
∵对数函数y=$lo{g}_{\frac{1}{3}}x$为减函数，
∴log${\;}_{\frac{1}{a}}$（3m²+4mn+n²）＜log${\;}_{\frac{1}{a}}$（2m²+6mn）．

点评 本题考查二次函数在R中的恒成立问题，可以通过判别式法予以解决，也可以分离参数k，分类讨论解决，以及对数函数的性质，属于中档题．