Question

3．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足${S_n}=\frac{3}{2}{a_n}-\frac{1}{2}$，数列{b_n}满足b_n=2log₃a_n+1，其中n∈N^*．（I）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；（II）设${c_n}=\frac{b_n}{a_n}$，数列{c_n}的前n项和为T_n，若${T_n}＜{c^2}-2c$对n∈N^*恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用a_n=S_n-S_n-1代入计算a_n=3a_n-1（n≥2），进而可知数列{a_n}是以1为首项、3为公比的等比数列，进而计算可得结论；
（II）通过（I）可知c_n=$\frac{2n-1}{{3}^{n-1}}$，利用错位相减法计算可知T_n=3-$\frac{n+1}{{3}^{n-1}}$，利用$\frac{n+1}{{3}^{n-1}}$＞0可知3≤c²-2c，计算即得结论．

解答 解：（I）∵${S_n}=\frac{3}{2}{a_n}-\frac{1}{2}$，
∴a_n=S_n-S_n-1
=（$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{1}{2}$）-（$\frac{3}{2}$a_n-1-$\frac{1}{2}$）
=$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{3}{2}$a_n-1，
整理得：a_n=3a_n-1（n≥2），
又∵S₁=$\frac{3}{2}$a₁-$\frac{1}{2}$，即a₁=1，
∴数列{a_n}是以1为首项、3为公比的等比数列，
∴a_n=3^n-1，
∴b_n=2log₃a_n+1=$2lo{g}_{3}{3}^{n-1}+1$=2n-1；
（II）由（I）可知${c_n}=\frac{b_n}{a_n}$=$\frac{2n-1}{{3}^{n-1}}$，
∴T_n=1+3×$\frac{1}{3}$+5×$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+（2n-1）×$\frac{1}{{3}^{n-1}}$，
$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{1}{3}$+3×$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+（2n-3）×$\frac{1}{{3}^{n-1}}$+（2n-1）×$\frac{1}{{3}^{n}}$，
两式错位相减得：$\frac{2}{3}$T_n=1+2（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$）-（2n-1）×$\frac{1}{{3}^{n}}$
=1+2×$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$
=2-$\frac{2n+2}{{3}^{n}}$，
∴T_n=3-$\frac{n+1}{{3}^{n-1}}$，
∵$\frac{n+1}{{3}^{n-1}}$＞0，
∴T_n＜3对任意n∈N^*都成立，
∴3≤c²-2c，
解得：c≥3或c≤-1，
于是实数c的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．