Question

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，首项a₁=2，a_n+1=S_n+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若p，q，r是三个互不相等的正整数，且p，q，r成等差数列，试判断a_p-1，a_q-1，a_r-1是否成等比数列？并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1计算、整理得a_n+1=2a_n（n≥2），进而可知数列{a_n}是首项、公比均为2的等比数列，计算即得结论；
（Ⅱ）通过p，q，r成等差数列可知p+r=2q，假设a_p-1，a_q-1，a_r-1成等比数列可知（a_p-1）（a_r-1）=（a_q-1）²，代入计算可知2^p+2^r=2•a^q，利用基本不等式可知2^p+2^r＞2$\sqrt{{2}^{p}•{2}^{r}}$=2•a^q，从而得出矛盾．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n+1=S_n+2，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（a_n+1-1）-（a_n-2），
整理得：a_n+1=2a_n（n≥2），
又∵a₂=S₁+2=4=2a₁满足上式，
∴数列{a_n}是首项、公比均为2的等比数列，
∴其通项公式a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）结论：a_p-1，a_q-1，a_r-1不成等比数列．
理由如下：
∵p，q，r成等差数列，
∴p+r=2q，
假设a_p-1，a_q-1，a_r-1成等比数列，
则（a_p-1）（a_r-1）=（a_q-1）²，
即（2^p-1）（2^r-1）=（a^q-1）²，
化简得：2^p+2^r=2•a^q，
∵p≠r，
∴2^p+2^r＞2$\sqrt{{2}^{p}•{2}^{r}}$=2•a^q，
这与假设矛盾，故假设不成立，即a_p-1，a_q-1，a_r-1不成等比数列．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．