Question

4．函数y=sinθ+2cos²θ-3的值域为[-4，-$\frac{7}{8}$]．

Answer 1

分析 利用三角函数公式变形可得f（x）=-2（sinθ-$\frac{1}{4}$）²$-\frac{7}{8}$．换元得出二次函数y=-2（t-$\frac{1}{4}$）²$-\frac{7}{8}$在t∈[-1，1]，根据二次函数性质求解即可．

解答 解：变形可得y=sinθ+2cos²θ-3．
=-2sin²θ+sinθ-1
=-2（sinθ-$\frac{1}{4}$）²$-\frac{7}{8}$．
sinθ∈[-1，1]，令t=sinθ，
二次函数y=-2（t-$\frac{1}{4}$）²$-\frac{7}{8}$中，t∈[-1，1]，
根据二次函数的性质得出t=-1时，函数的最小值为-2（-1-$\frac{1}{4}$）²$-\frac{7}{8}$=-4，
∴当t=$\frac{1}{4}$时，函数的最大值为$-\frac{7}{8}$．
故答案为：[-4，-$\frac{7}{8}$]．

点评 本题考查三角函数的最值，涉及二次函数区间的最值，属基础题