Question

4．设函数f（x）=x³-2x²+x+1，求：
（1）求在点（2，3）处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，即可得到极值．

解答 解：（1）函数f（x）=x³-2x²+x+1的导数为
f′（x）=3x²-4x+1，
即有在点（2，3）处的切线斜率为12-8+1=5，
则在点（2，3）处的切线方程为y-3=5（x-2），
即为5x-y-7=0；
（2）由f′（x）＞0，可得x＞1或x＜$\frac{1}{3}$；
由f′（x）＜0，可得$\frac{1}{3}$＜x＜1．
可得f（x）的增区间为（1，+∞），（-∞，$\frac{1}{3}$），
减区间为（$\frac{1}{3}$，1）．
即有x=1处取得极小值，且为1，
x=$\frac{1}{3}$处取得极大值，且为$\frac{31}{27}$．

点评 本题考查导数的应用：求切线的方程和单调区间、极值，考查运算能力，属于基础题．