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    【题目】已知椭圆：过点，且它的焦距是短轴长的倍.

    （1）求椭圆的方程.

    （2）若，是椭圆上的两个动点（，两点不关于轴对称），为坐标原点，，的斜率分别为，，问是否存在非零常数，使当时，的面积为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

    【答案】（1）；（2）存在这样的常数，此时.

    【解析】

    （1）将点的坐标代入椭圆方程，结合和列方程组，解方程组求得椭圆的标准方程.（2）设直线的方程为和两点的坐标，将两点两点坐标代入，化简得到①.联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用点到直线距离公式和弦长公式求得三角形的面积的表达式，结合①解得和的值.

    解：（1）因为椭圆：过点，

    所以，

    又因为该椭圆的焦距是短轴长的倍，所以，从而.

    联立方程组，解得，所以.

    （2）设存在这样的常数，使，的面积为定值.设直线的方程为，点，点，则由知，，所以.①

    联立方程组，消去得.

    所以，

    点到直线的距离，

    的面积.④

    将②③代入①得，

    化简得，⑤

    将⑤代入④得

    ，

    要使上式为定值，只需，

    即需，从而，此时，，

    所以存在这样的常数，此时.

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

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    ④AB与CD所成的角是60°.

    其中正确结论的序号是________

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