【题目】在正方体中,点E是棱的中点,点F是线段上的一个动点.有以下三个命题:
①异面直线与所成的角是定值;
②三棱锥的体积是定值;
③直线与平面所成的角是定值.
其中真命题的个数是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】B
【解析】
以A点为坐标原点,AB,AD,所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
可得=(1,1,1),=(t-1,1,-t),可得=0,可得①正确;
由三棱锥的底面面积为定值,且∥,可得②正确;
可得=(t,1,-t),平面的一个法向量为=(1,1,1),可得不为定值可得③错误,可得答案.
解:以A点为坐标原点,AB,AD,所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,可得B(1,0,0),C(1,1,O),D(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),设F(t,1,1-t),(0≤t≤1),
可得=(1,1,1),=(t-1,1,-t),可得=0,故异面直线与所的角是定值,故①正确;
三棱锥的底面面积为定值,且∥,点F是线段上的一个动点,可得F点到底面的距离为定值,故三棱锥的体积是定值,故②正确;
可得=(t,1,-t),=(0,1,-1),=(-1,1,0),可得平面的一个法向量为=(1,1,1),可得不为定值,故③错误;
故选B.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为提高产品质量,某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测,现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比,并对每个产品进行综合评分(满分100分),将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.
(1)求图中的值,并求综合评分的中位数;
(2)用样本估计总体,以频率作为概率,按分层抽样的思想,先在该条生产线中随机抽取5个产品,再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据,求这2个产品中恰有一个一等品的概率.
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【题目】已知椭圆:过点,且它的焦距是短轴长的倍.
(1)求椭圆的方程.
(2)若,是椭圆上的两个动点(,两点不关于轴对称),为坐标原点,,的斜率分别为,,问是否存在非零常数,使当时,的面积为定值?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】设椭圆:的左、右焦点分别为,,下顶点为,椭圆的离心率是,的面积是.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)直线与椭圆交于,两点(异于点),若直线与直线的斜率之和为1,证明:直线恒过定点,并求出该定点的坐标.
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【题目】在直角坐标系中,是过定点且倾斜角为的直线;在极坐标系(以坐标原点为极点,以轴非负半轴为极轴,取相同单位长度)中,曲线的极坐标方程为.
(1)写出直线的参数方程,并将曲线的方程化为直角坐标方程;
(2)若曲线与直线相交于不同的两点,求的取值范围.
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