Question

【题目】在正方体中，点E是棱的中点，点F是线段上的一个动点．有以下三个命题：

①异面直线与所成的角是定值；

②三棱锥的体积是定值；

③直线与平面所成的角是定值．

其中真命题的个数是( )

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

Answer 1

【答案】B

【解析】

以A点为坐标原点，AB,AD,所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,

可得=(1,1,1),=(t-1，1，-t)，可得=0,可得①正确；

由三棱锥的底面面积为定值，且∥,可得②正确；

可得=(t，1，-t)，平面的一个法向量为=（1，1，1），可得不为定值可得③错误，可得答案.

解:以A点为坐标原点，AB,AD,所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，可得B(1,0,0),C(1,1,O),D(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),设F(t，1，1-t)，（0≤t≤1），

可得=(1,1,1),=(t-1，1，-t)，可得=0，故异面直线与所的角是定值，故①正确；

三棱锥的底面面积为定值，且∥,点F是线段上的一个动点，可得F点到底面的距离为定值，故三棱锥的体积是定值，故②正确；

可得=(t，1，-t)，=(0,1,-1),=(-1,1,0),可得平面的一个法向量为=（1，1，1），可得不为定值，故③错误;

故选B.