【题目】如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
为等边三角形，
，
是
的中点.
（1）证明：
；
（2）若
，求二面角
平面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）取
的中点
，连接
、
，证明
平面
，从而得出
；
（2）证明出
平面
，可得出、、两两垂直，以点为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系
，然后计算出平面
、
的法向量，利用空间向量法求出二面角
平面角的余弦值.
（1）证明：取中点，联结、，
为等边三角形，为的中点，
.
是
的中点，为中点，
，
，
.
，
平面，
平面，
；
（2）由（1）知，，
平面
平面，平面
平面
，
平面
，
平面，则、、两两垂直，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则
、
、
、
、
.
设平面的法向量为
，
，
.
由
，得
，令
，得
，
，
所以，平面的一个法向量为
.
设平面的法向量为
，
，
由
，得
，取
，得
，
.
所以，平面的一个法向量为
.
则
.
结合图形可知，二面角的平面角为锐角，其余弦值为.
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【题目】已知椭圆
: 
的长轴长为4，左、右顶点分别为
，经过点
的直线与椭圆相交于不同的两点
（不与点重合）.
（Ⅰ）当
，且直线
轴时， 求四边形
的面积；
（Ⅱ）设
，直线
与直线
相交于点
，求证：
三点共线.
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【题目】将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD成60°的角；
④AB与CD所成的角是60°.
其中正确结论的序号是________
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【题目】在正方体
中，点E是棱
的中点，点F是线段
上的一个动点．有以下三个命题：
①异面直线
与
所成的角是定值；
②三棱锥
的体积是定值；
③直线
与平面
所成的角是定值．
其中真命题的个数是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
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【题目】有下列四个命题：①“若
，则
，
互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若
，则
有实数解”的逆否命题；④“若
，则
”的逆否命题．其中真命题为________（填写所有真命题的序号）．
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【题目】某家具厂有方木料90
，五合板600
，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产第张书桌需要方木料O.l，五合板2，生产每个书橱而要方木料0.2，五合板1，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.
（1）如果只安排生产书桌，可获利润多少？
（2）怎样安排生产可使所得利润最大？
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【题目】如图，四棱锥
中，底面 ABCD为矩形，侧面为正三角形，且平面
平面 
E 为 PD 中点，AD=2.
(1)证明平面AEC丄平面PCD;
(2)若二面角
的平面角
满足
，求四棱锥 的体积.
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