Question

【题目】设函数 ，则关于函数f（x）有以下四个命题（ ）
①x∈R，f（f（x））=1；
②x0 ， y0∈R，f（x0+y0）=f（x0）+f（y0）；
③函数f（x）是偶函数；
④函数f（x）是周期函数．
其中真命题的个数是（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1

Answer 1

【答案】A
【解析】解：由 ，
可得f（x）=0或1，则x∈R，f（f（x））=1，故①正确；
当 时，f（x0+y0）=f（x0）+f（y0），故②正确；
∵x为有理数，则﹣x为有理数，x为无理数，则﹣x为无理数，∴函数f（x）是偶函数，故③正确；
任何一个非0的有理数都是函数的周期，∴函数f（x）是周期函数，故④正确．
∴真命题的个数是4个．
故选：A．
【考点精析】通过灵活运用命题的真假判断与应用，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系即可以解答此题．