Question

12．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$+lnx，（a∈R），
（Ⅰ）当a=2时，求 f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a≥2时，存在两点（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），使得曲线y=f（x）在这两点处的切线互相平行，求证x₁+x₂＞8．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出a（$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=1，得到a（$\frac{{x}_{1}{•x}_{2}}{{{x}_{1}+x}_{2}}$≥2，从而证出x₁+x₂＞8．

解答 解：（Ⅰ）由∵$f'（x）=\frac{{{x^2}+x-2}}{x^2}=0$，x∈（0，+∞）
x=1或x=-2（舍）
∴当0＜x＜1时∴f'（x）＜0，当x＞1时∴f'（x）＞0
∴f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）．    （6分）
（Ⅱ）证明：依题意：$1-\frac{a}{{{x_1}^2}}+\frac{1}{x_1}=1-\frac{a}{{{x_2}^2}}+\frac{1}{x_2}⇒a（\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}）=1$，
由于x₁＞0，x₂＞0，且x₁≠x₂，则有$a=\frac{{{x_1}•{x_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}≥2⇒2（{x_1}+{x_2}）≤{x_1}•{x_2}＜{（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）^2}$
∴$2（{x_1}+{x_2}）＜{（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）^2}$⇒x₁+x₂＞8．    （12分）

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．