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    如右图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，

    (1)试证：A1、G、C三点共线；

    (2)试证：A1C⊥平面BC1D；

     

    （1）见解析（2）见解析

    【解析】(1)＝＋＋＝＋＋，

    可以证明：＝(＋＋)＝，

    ∴∥，即A1、G、C三点共线．

    (2)设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a·b＝b·c＝c·a＝0，

    ∵＝a＋b＋c，＝c－a，

    ∴·＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，

    ∴⊥，即CA1⊥BC1，

    同理可证：CA1⊥BD，因此A1C⊥平面BC1D.

     

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