Question

（2012•湖北模拟）已知PA⊥矩形ABCD所在平面，PA=AD=

2

AB，E为线段PD上一点，G为线段PC的中点．
（1）当E为PD的中点时，求证：BD⊥CE；
（2）当

PE

ED

=2时，求证：BG∥平面AEC．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直，证明线线垂直，即证明BD⊥平面CEH；
（2）利用面面平行，证明线面平行，即证明平面BGF∥平面AEC，而证明面面平行，又是通过证明线面平行得到．

解答：证明：（1）过E作EH⊥AD，垂足为H，连接CH．
tan∠1=

DC

BC

=

1

2

，tan∠2=

HD

DC

=

2

2

，
∴∠1=∠2
又∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°，∴BD⊥CH，
∵PA⊥矩形ABCD所在平面，∴平面PAD⊥矩形ABCD所在平面
∵EH⊥AD，平面PAD∩矩形ABCD=AD
∴EH⊥矩形ABCD所在平面
∴EH⊥BD
∵EH∩CH=H
∴BD⊥平面CEH
∵CE?平面CEH
∴BD⊥CE．     （6分）
（2）取PE的中点F，连接GF，BF．
∵G为PC的中点，
∴GF∥CE
∵GF?平面ACE，CE?平面ACE
∴GF∥平面ACE．
连接BD交AC与点O，连接OE．
∵E为DF的中点，
∴BF∥OE
∴BF∥平面ACE．∵BF∩GF=F，
∴平面BGF∥平面AEC．
又BG?平面BGF
∴BG∥平面AEC．  （12分）

点评：本题以四棱锥为载体，证明线线垂直和线面平行，考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质等知识点，属于中档题．