Question

A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A₁，A₂，A₃，B队队员是B₁，B₂，B₃，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：

对阵队员	A队队员胜的概率	A队队员负的概率
A1对B1	2 3	1 3
A2对B2	2 5	3 5
A3对B3	2 5	3 5

现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η．
（1）求ξ、η的概率分布；
（2）求Eξ，Eη．

Answer 1

分析：（1）由题意知本题两个变量之间具有特殊关系，根据相互独立事件同时发生的概率做出变量ξ的分布列，根据两者之间和为3，得到另一个变量的分布列．
（2）由题意知本题两个变量之间具有特殊关系，两个变量的期望之间也有这种关系，两个变量的期望的和是3，解出一个，另一个用做差来解．

解答：解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0．
P(ξ=3)=

2

3

×

2

5

×

2

5

=

8

75

P(ξ=2)=

2

3

×

2

5

×

3

5

+

1

3

×

2

5

×

2

5

+

2

3

×

3

5

×

2

5

=

28

75

，P(ξ=1)=

2

3

×

3

5

×

3

5

+

1

3

×

2

5

×

3

5

+

1

3

×

3

5

×

2

5

=

2

5

，
P(ξ=0)=

1

3

×

3

5

×

3

5

=

3

25

．
根据题意知ξ+η=3，
∴P（η=0）=P（ξ=3）=

8

75

，
P（η=1）=P（ξ=2）=

28

75

，
P（η=2）=P（ξ=1）=

2

5

，
P（η=3）=P（ξ=0）=

3

25

．

（2）Eξ=3×

8

75

+2×

28

75

+1×

2

5

+0×

3

25

=

22

15

，
∵ξ+η=3，
∴Eη=3-Eξ=

23

15

．

点评：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大．