Question

在△ABC中，设边A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知A+C=2B，并且sinAsinC=cos²B，三角形的面积S_△ABC=4

3

，求a，b，c．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：A+C=2B，利用A+B+C=π，可得B=

π

3

．sinAsinC=cos²B=

1

4

，利用正弦定理可得

asin π 3

b

•

csin π 3

b

=

1

4

，可得3ac=b²
三角形的面积S_△ABC=4

3

=

1

2

acsin

π

3

．可得ac=16．又b2=a2+c2-2accos

π

3

，即可得出．

解答： 解：∵A+C=2B，A+B+C=π，∴B=

π

3

．
∵sinAsinC=cos²B=

1

4

，三角形的面积S_△ABC=4

3

=

1

2

acsin

π

3

．
∴

asin π 3

b

•

csin π 3

b

=

1

4

，ac=16．
化为b²=48，b=4

3

又b2=a2+c2-2accos

π

3

，
∴a²+c²=，与ac=16联立解得

a=4 3 +4 2 c=4 3 -4 2

或

a=4 3 -4 2 c=4 3 +4 2

．
∴a=4

3

+4

2

，b=4

3

，c=4

3

-4

2

．
或c=4

3

+4

2

，b=4

3

，a=4

3

-4

2

．

点评：本题考查了正弦定理与余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．