Question

17．设函数$f（x）=\frac{2^x}{{1+{2^x}}}（x∈R）$，若用[m]表示不超过实数m的最大整数，则函数$y=[f（x）-\frac{1}{2}]+[f（x）+\frac{1}{2}]$的值域为{-1，1}．

Answer 1

分析 把已知的函数解析式变形，然后对x分类求出$f（x）-\frac{1}{2}，f（x）+\frac{1}{2}$的范围得答案．

解答 解：f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}=\frac{{2}^{x}+1-1}{{2}^{x}+1}=1-\frac{1}{{2}^{x}+1}$．
f（x）-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{x}+1}$，f（x）+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}-\frac{1}{{2}^{x}+1}$．
当x＞0时，2^x＞1，$0＜\frac{1}{{2}^{x}+1}＜\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}＜-\frac{1}{{2}^{x}+1}＜0$．
0$＜\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{x}+1}＜\frac{1}{2}$，$1＜\frac{3}{2}-\frac{1}{{2}^{x}+1}＜\frac{3}{2}$．
∴函数$y=[f（x）-\frac{1}{2}]+[f（x）+\frac{1}{2}]$=0+1=1；
当x=0时，f（x）-$\frac{1}{2}$=0，f（x）+$\frac{1}{2}$=1，
∴函数$y=[f（x）-\frac{1}{2}]+[f（x）+\frac{1}{2}]$=0+1=1；
当x＜0时，0＜2^x＜1，$\frac{1}{2}＜\frac{1}{{2}^{x}+1}＜1$，$-1＜-\frac{1}{{2}^{x}+1}＜-\frac{1}{2}$．
$-\frac{1}{2}＜\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{x}+1}＜0$，$\frac{1}{2}＜\frac{3}{2}-\frac{1}{{2}^{x}+1}＜1$．
∴函数$y=[f（x）-\frac{1}{2}]+[f（x）+\frac{1}{2}]$=-1+0=-1．
∴y的值域：{-1，1}．
故答案为：{-1，1}．

点评 本题是新定义题，考查了函数值域的求法，训练了指数函数的单调性，是中档题．