Question

7．已知$sin（\frac{π}{4}-x）=-\frac{1}{5}$，求下列各式的值
（1）$cos（\frac{π}{4}+x）$
（2）$sin（\frac{3π}{4}+x）$．

Answer 1

分析 （1）由已知利用正弦加法定理求出sinxcosx=$\frac{1}{10}$，由此利用余弦加法定理能求出cos（$\frac{π}{4}+x$）．
（2）利用正弦加法定理能求出sin（$\frac{3π}{4}+x$）的值．

解答 解：（1）∵$sin（\frac{π}{4}-x）=-\frac{1}{5}$，
∴$sin\frac{π}{4}cosx-cos\frac{π}{4}sinx$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}（sinx-cosx）$=-$\frac{1}{5}$，
∴sinx-cosx=$\frac{\sqrt{2}}{5}$，
∴1-2sinxcisx=$\frac{4}{5}$，∴sinxcosx=$\frac{1}{10}$，
∴cos（$\frac{π}{4}+x$）=cos$\frac{π}{4}$cosx+sin$\frac{π}{4}$sinx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinx+cosx），
∴cos²（$\frac{π}{4}+x$）=[$\frac{\sqrt{2}}{2}（sinx+cosx）$]²=$\frac{1}{2}（1+2sinxcosx）$=$\frac{3}{5}$，
∴$cos（\frac{π}{4}+x）$=±$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
（2）sin（$\frac{3π}{4}+x$）=sin$\frac{3π}{4}$cosx+cos$\frac{3π}{4}$sinx=$\frac{\sqrt{2}}{2}cosx-\frac{\sqrt{2}}{2}sinx$=-$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正弦加法定理和余弦加法定理及同角三角函数关系式的合理运用．