Question

12．函数f（x）与$g（x）={（\frac{1}{2}）^x}$的图象关于直线y=x对称，则f（4-x²）的单调递增区间是（　　）

• A． [0，2）
• B． （-2，0]
• C． [0，+∞）
• D． （-∞，0]

Answer 1

分析 先根据对称性确定f（x）的解析式，再运用复合函数单调性的判断规确定函数的单调增区间．

解答 解：因为函数f（x）与$g（x）={（\frac{1}{2}）^x}$的图象关于直线y=x对称，
所以，f（x）就是g（x）的反函数，
即f（x）=g^-1（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$（x＞0），
因此，函数y=f（4-x²）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（4-x^2）$，
该函数的定义域为（-2，2），
①当x∈（0，2）时，真数4-x²单调递减，所以函数y=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（4-x^2）$单调递增，
②当x∈（-2，0）时，真数4-x²单调递增，所以函数y=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（4-x^2）$单调递减，
故答案为：A．

点评 本题主要考查了反函数图象间的对称关系和复合函数单调性和单调区间的判断，涉及对数函数的图象和性质，属于中档题．