Question

20．已知二次函数f（x）=（m+1）x²-2mx+m-1．
（1）如果函数f（x）的两个零点在原点左右两侧，求实数m的取值范围；
（2）如果函数f（x）在（-∞，-1）上有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意利用韦达定理可得两个零点的乘积小于零，从而求得m的范围．
（2）由条件利用二次函数的性质分类讨论，求得实数m的取值范围．

解答 解：（1）对于二次函数f（x）=（m+1）x²-2mx+m-1，如果函数f（x）的两个零点在原点左右两侧，
则$\left\{\begin{array}{l}{m+1≠0}\\{\frac{m-1}{m+1}＜0}\end{array}\right.$，求得-1＜m＜1．
（2）如果函数f（x）在（-∞，-1）上有零点，
当m+1=0，求得x=1，不满足条件．
当函数f（x）在（-∞，-1）上只有一个零点，则有$\left\{\begin{array}{l}{m+1＞0}\\{f（-1）=4m＜0}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{m+1＜0}\\{f（-1）=4m＞0}\end{array}\right.$ ②，
或$\left\{\begin{array}{l}{m+1≠0}\\{\frac{m}{m+1}＜0}\\{△={4m}^{2}-4（m+1）（m-1）=0}\end{array}\right.$ ③．
解①求得-1＜m＜0，解②求得m∈∅，解③求得m∈∅．
当函数f（x）在（-∞，-1）有2个零点，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m}{m+1}＜0}\\{△={4m}^{2}-4（m+1）（m-1）＞0}\end{array}\right.$，
求得-1＜m＜0．
综上可得，实数m的取值范围为（-1，0）．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．