Question

9．已知函数$f（x）={（sinx+cosx）^2}-2\sqrt{3}{cos^2}x+\sqrt{3}$．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求函数$y=f（x+\frac{π}{12}）$，$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$的值域．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，解不等式$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$可得；
（2）由（1）可得$y=f（x+\frac{π}{12}）=2sin（2x-\frac{π}{6}）+1$，由x的范围和三角函数的值域可得．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得：
f（x）=1+sin2x-2$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\sqrt{3}$
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+1=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$可得$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}，k∈Z$，
∴f（x）的单调递增区间为：$[kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}]，k∈Z$；
（2）由（1）可得$y=f（x+\frac{π}{12}）=2sin（2x-\frac{π}{6}）+1$，
∵$0≤x≤\frac{π}{2}$，∴$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，
∴$-\frac{1}{2}≤sin（2x-\frac{π}{6}）≤1$，∴0≤y≤3
∴函数的值域为：[0，3]

点评 本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的单调性和最值，属中档题．