Question

19．已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）f（y），f（x）＞0，f（2）=9
（1）求f（0），f（1）；
（2）验证函数f（x）=3^x是否满足上述条件？说明理由；
（3）设函数f（x）在R上是增函数，若$f（{m^2}）＞\frac{27}{f（2m）}$，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用特殊值求函数值，令x=y=0可解得f（0），令x=y=1可解得f（1）；
（2）直接用函数解析式验证；
（3）运用函数的单调性和特殊函数值解不等式．

解答 解：（1）令x=y=0代入得，f（0）=f（0）•f（0），
由于f（x）＞0，所以f（0）＞0，则f（0）=1，
再令x=y=1得，f（2）=f（1）•f（1）=9，
所以，f（1）=3；
（2）函数f（x）=3^x满足上述条件，理由如下：
f（x+y）=3^x+y=3^x•3^y=f（x）•f（y），
即f（x）=3^x满足f（x+y）=f（x）•f（y）；
（3）根据题意，不等式可化为：f（m²）•f（2m）＞27，其中，
f（m²）•f（2m）=f（m²+2m），
27=3•f（2）=f（1）•f（2）=f（3），
所以，f（m²+2m）＞f（3），
再根据f（x）为R上的增函数，
所以m²+2m＞3，解得，m＜-3或m＞1，
即实数m的取值范围为：（-∞，-3）∪（1，+∞）．

点评 本题主要考查了抽象函数及其应用，涉及函数值的确定，函数性质的验证，以及运用单调性解不等式，属于中档题．