Question

7．已知集合A={x|x²-x-6＜0}，集合B={x|x²+2x-8＞0}，集合C={x|x²-4ax+3a²＜0}，若C?（A∩B），试确定实数a的取值范围[1，2]．

Answer 1

分析 先确定集合A，B得到A={x|-2＜x＜3}，B={x|x＜-4或x＞2}，再根据题意分类讨论得出a的取值范围．

解答 解：由已知得A={x|-2＜x＜3}，B={x|x＜-4或x＞2}，
所以，A∩B={x|2＜x＜3}，
C={x|x²-4ax+3a²＜0}={x|（x-a）（x-3a）＜0}，
①当a＞0时，C={x|a＜x＜3a}，如右图所示：
则C?（A∩B）等价为：$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3a≥3}\end{array}\right.$，
解得，1≤a≤2，经检验符合题意；
②当a＜0时，C={x|3a＜x＜a}；
C是负半轴上的一个区间，而A∩B是正半轴上的一个区间，
因此C?（A∩B）是不可能的，故无解；
③当a=0时，C=∅，此时C?（A∩B）是不可能的，也无解．
综合以上讨论得，a∈[1，2]．
故答案为：[1，2]．

点评 本题主要考查了子集与交集的运算，涉及一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的解题思想，属于中档题．