Question

5．设f（x）=log₂（x+2）．
（1）求f（x）≤2的x的取值范围；
（2）记G（x）=log₂（x+2）-$\frac{2}{x}$，直接写出该函数在区间[2，3]上的单调性情况；
（3）若对于区间[2，3]上的每一个x的值，不等式f（x）＞$\frac{2}{x}$+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）≤2即log₂（x+2）≤2，根据对数函数的图象和性质，可得答案；
（2）根据增-减=增的原则，可直接得到G（x）=log₂（x+2）-$\frac{2}{x}$在区间[2，3]上的单调性；
（3）对于区间[2，3]上的每一个x的值，不等式f（x）＞$\frac{2}{x}$+m恒成立，即m＜log₂（x+2）-$\frac{2}{x}$在区间[2，3]上恒成立，结合（2）中结论，求出函数的最小值，可得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=log₂（x+2）．
∴f（x）≤2即log₂（x+2）≤2．
即0＜x+2≤4，
解得：x∈（-2，2]，
（2）函数G（x）=log₂（x+2）-$\frac{2}{x}$在区间[2，3]上为增函数，
（3）若不等式f（x）＞$\frac{2}{x}$+m区间[2，3]上恒成立，
则m＜log₂（x+2）-$\frac{2}{x}$在区间[2，3]上恒成立，
由（2）得：G（x）=log₂（x+2）-$\frac{2}{x}$在区间[2，3]上为增函数，
故当x=2时，函数取最小值1，
故m＜1．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．